DBは「データベース(Database)」の略で、データを整理し保存するためのシステムのことです。DBは膨大な量のデータを効率的に管理することができます。
Web上で使われるDBにはMySQLやPostgreSQLなどがあります。例えば、オンラインショッピングサイトやSNSなどで使われるユーザーアカウント情報や商品情報などはDBに保存されています。
DBはデータを整理するためにテーブルと呼ばれる形式で保存されます。各テーブルは行と列から成り、行はデータのレコードを、列はレコードに含まれる属性を表します。DBはデータの検索や更新、削除などのための複雑な操作ができます。また、複数のテーブルを結合してより複雑なデータを管理することもできます。
Webアプリケーションはユーザーからのリクエストに応じてDBからデータを取得し、Webブラウザに表示することができます。このような役割を果たすためには、DBは効率的で信頼性が高いデータ管理システムであることが求められます。
参考
MySQL

PostgreSQL
The world's most advanced open source database.